Differensialer - hva er dette? Hvordan finne den deriverte av funksjon?

Sammen med derivater deres funksjoner differensialer - it noen av de grunnleggende begreper i differensialregning, hoveddelen av matematisk analyse. Som uløselig knyttet sammen, både av dem flere århundrer mye brukt i å løse nesten alle problemer som oppsto i løpet av vitenskapelig og teknisk virksomhet.

Fremveksten av begrepet differensial

For første gang gjort det klart at et slikt differensial, en av stifterne (sammen med Isaakom Nyutonom) differensialregning kjente tyske matematikeren Gotfrid Vilgelm Leybnits. Før det matematikere 17. århundre. anvendes meget uklar og vag idé om noen uendelig liten "udelt" av hvilken som helst kjent funksjon, noe som representerer en meget liten konstant verdi, men ikke er lik null, under hvilke verdier av funksjonen kan ikke være rett og slett. Derfor var det bare ett trinn til innføring av forestillinger om infinitesimal trinn på funksjons argumenter og deres respektive inkrementer av de funksjoner som kan uttrykkes i form av derivater av sistnevnte. Og dette skritt ble tatt nesten samtidig over to store vitenskapsmenn.

Basert på behovet for å møte presserende praktiske mekanikk problemer som møter vitenskap raskt utvikle industri og teknologi, Newton og Leibniz skapte de vanligste måtene å finne funksjonene til endringshastigheten (spesielt med hensyn til den mekaniske hastigheten på kroppen av den kjente banen), noe som førte til innføring av slike konsepter, som den deriverte funksjon og differensial, og også funnet algoritme inverse problem løsninger som er kjent per se (variabel) hastigheter traversert for å finne den veien som har ført til konseptet med integralet Ala.

I verk av Leibniz og Newton ideen først dukket det at differensialene - er proporsjonal med tilveksten av de grunnleggende argumentene Ah intervaller AU funksjoner som kan med hell brukes til å beregne verdien av sistnevnte. Med andre ord, har de oppdaget at et inkrement funksjon kan være ved et hvilket som helst punkt (innen sitt domene av definisjon) blir uttrykt gjennom dens deriverte både Au = y '(x) Ah + αΔh hvor α Ah - rest, som tenderer mot null som Ah → 0, mye raskere enn den faktiske Ah.

Ifølge erne av matematisk analyse, differensialene - dette er nøyaktig det første uttrykket i trinn på noen funksjoner. Selv uten å ha en klart definert grense konsept sekvenser forstås umiddelbart at differanseverdien av den deriverte har en tendens til å fungere når Ah → 0 - Au / Ah → y '(x).

I motsetning til Newton, som var først og fremst en fysiker og matematisk apparat betraktes som et hjelpeverktøy for studiet av fysiske problemer, Leibniz betalt mer oppmerksomhet til dette verktøysettet, herunder et system av visuelle og forståelige symboler matematiske verdier. Det var den som foreslått standard notasjonen av differensialer funksjon dy = y '(x) dx, dx, og den deriverte av den funksjon som argumentet deres forhold y' (x) = dy / dx.

Den moderne definisjonen

Hva er forskjellen i form av moderne matematikk? Det er nært knyttet til konseptet med en variabel stigning. Dersom den variable y tar en første verdi av y y = _1, y = y _2, blir differansen y ₂ ─ y ₁ kalt trinnverdien y. Økningen kan være positivt. negative og null. Ordet "inkrement" er betegnet Δ, Au-opptak (les 'delta-y') betegner verdien av inkrementet y. så Au = y ₂ ─ y _1.

Hvis verdien Au vilkårlig funksjon y = f (x) kan representeres som Au = A Ah + α, hvor A er ingen avhengighet Ah, t. E. A = const for den gitte x, og uttrykket α når Ah → 0 har en tendens til å det er enda raskere enn den faktiske Ah, da den første ( "master"), et uttrykk som er proporsjonalt Ah, og er for y = f (x) differensial, betegnet dy eller df (x) (Les "y de", "de eff fra X"). Derfor Differentialer - en "hoved" lineær med hensyn til komponentene i trinnvise økninger Dh funksjoner.

mekanisk forklaring

La s = f (t) - avstanden i en rett linje som beveger seg vesentlig punkt fra utgangsstillingen (t - reisetid). Økning D s - er den måte punktet i løpet av et tidsintervall At, og differensial ds = f '(t) At - denne banen, hvilket punkt ville bli holdt på samme tid At, hvis det beholdt hastigheten f' (t), nådd ved tiden t . Når en infinitesimal At ds imaginære bane avviker fra de faktiske D s infinitesimally som har en høyere orden med hensyn til At. Hvis hastigheten på tidspunktet t ikke er lik null, en tilnærmet verdi ds gir liten skjevhet punkt.

geometrisk tolkning

La ledningen L er grafen for y = f (x). Deretter Δ x = MQ, Au = QM '(se Fig. Nedenfor). Tangent MN bryter Au kuttet i to deler, QN og NM'. Først og Ah er proporsjonal QN = MQ ∙ tg (vinkel QMN) = Ah f '(x), t. E QN er dy differensial.

Den andre delen av forskjellen Au NM'daet ─ dy, når Ah → 0 NM lengde 'avtar enda raskere enn økningen av argumentet, dvs. at det har rekkefølgen av meget underlegen høyere enn Ah. I dette tilfelle, hvis f (x) * 0 (ikke-parallell tangent OX) segmenter QM'i QN ekvivalente; med andre ord NM 'avtar raskt (rekkefølgen av delene er for dens høyere) enn den totale tilveksten Au = QM'. Dette er tydelig i figur (nærmer segment M'k M NM'sostavlyaet alt mindre andel QM 'segment).

Så grafisk differensiell vilkårlig funksjon er lik økningen av ordinaten til tangenten.

Derivatet og differensial

Et moment i den første leddet i uttrykket inkrement funksjon er lik verdien av dens deriverte f '(x). Således er den følgende relasjon - dy = f '(x) Ah eller df (x) = f' (x) Ah.

Det er kjent at en økning av det selvstendige argumentet er lik dens differensial Ah = dx. Følgelig kan vi skrive: f '(x) dx = dy.

Å finne (noen ganger sagt å være "beslutning") differensialer utføres ved de samme regler som for derivatene. En liste over dem er gitt nedenfor.

Hva er mer universell: tilveksten av argumentet eller dets differensial

Her er det nødvendig å foreta noen presiseringer. Representasjonen verdi f '(x) differensial Ah mulig når man vurderer X som et argument. Men funksjonen kan være et kompleks, hvor x kan være en funksjon av argumentet t. Deretter representasjon av den differensielle ekspresjonen av f (x) Ah, som en regel, er det umulig; unntatt i tilfelle av lineær avhengighet x = i + b.

Med hensyn til formelen f '(x) dx = dy, da i tilfelle av uavhengige argument x (så dx = Ah) i tilfellet med den parametriske avhengighet av x t, er det differensial.

For eksempel, er uttrykket 2 x Ah for y = x ² sin differensial når x er et argument. Vi har nå x = t ² og anta t argument. Deretter y = x ² = t ^4.

Dette etterfølges av (t + At) ² = t ² + 2tΔt + ^At2. Derav Ah = 2tΔt + ^At2. Derav: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + ^At2).

Dette uttrykket er ikke proporsjonal med At, og derfor er nå 2xΔh er ikke differensial. Det kan finnes fra likningen y = x ² = t ^4. Det er lik dy = 4t ³ At.

Hvis vi tar uttrykket 2xdx, er det differensial y = x ² for en hvilken som helst argument t. Faktisk, når x = ^t2 oppnå dx = 2tΔt.

Så 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ At, t. E. Ekspresjonselementene differensialer registrert av to forskjellige variabler er sammenfallende.

Skifte intervaller differensialer

Hvis f '(x) ≠ 0, deretter Au og dy ekvivalent (når Ah → 0); hvis f '(x) = 0 (som betyr og dy = 0), er de ikke ekvivalente.

For eksempel, hvis y = x ^2, deretter Au = (x + Ah) ² ─ x ² = 2xΔh + Ah ² og dy = 2xΔh. Hvis x = 3, så har vi Au = 6Δh + Ah ² og dy = 6Δh som er ekvivalente grunn Ah ² → 0, når x = 0-verdi Au = Ah ² og dy = 0 ikke er ekvivalente.

Dette faktum, sammen med den enkle strukturen av differensialen (m. E. linearitet med hensyn til Ah), blir ofte brukt i tilnærmet beregning, under forutsetning av at Au-≈ dy for liten Ah. Finn differensial funksjonen er vanligvis lettere enn å beregne den eksakte verdien av tilveksten.

For eksempel har vi metallisk kube med kant x = 10,00 cm. Ved oppvarming kanten forlenget på Ah = 0,001 cm. Slik øket volum terningen V? Vi har V = x ^2, slik at dV = 3x ² = Ah 3 ∙ ∙ ¹⁰ februar 0/01 = 3 (cm ^3). Økt AVs tilsvarende differensial dV, slik at AV = 3 ^cm3. Full beregning vil gi AV = 10,01 ─ ³ av 10 ³ = 3,003001. Men resultatet av alle tall unntatt første upålitelige; Derfor er det fortsatt nødvendig å runde opp til 3 cm ^3.

Selvfølgelig er denne tilnærmingen nyttig bare hvis det er mulig å beregne verdien formidles med feil.

Differensial-funksjon: eksempler

La oss prøve å finne den deriverte av funksjonen y = x ^3, finne den deriverte. La oss gi argumentet tilveksten Au og definere.

Au = (Ah + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Ah (Ah 3xΔh ² + ^3).

Her betyr koeffisienten A = 3x ² er ikke avhengig av Ah, slik at det første uttrykket er proporsjonalt Ah, det andre element 3xΔh Ah ² + ³ når Ah → 0 avtar raskere enn økningen av argumentet. Følgelig, er et medlem av 3x ² Ah differensial av y = x ^3:

dy = 3x ² Ah = 3x ² dx eller d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Karakterisert ved at d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Vi nå finne funksjonen y = 1 / x av derivatet. Da d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Derfor dy = ─ Ah / x ^2.

Differensialer grunnleggende algebraiske funksjoner er gitt nedenfor.

Omtrentlige beregninger ved bruk av differensiell

For å evaluere funksjonen f (x), og dens deriverte f '(x) når x = a er ofte vanskelig, men for å gjøre det samme i nærheten av x = a er ikke lett. Så kommer til ved hjelp av tilnærmet uttrykk

f (a + Ah) ≈ f '(a) Ah + f (a).

Dette gir en tilnærmet verdi av funksjonen ved små trinn gjennom sitt differensial Ah f '(a) Ah.

Derfor gir denne formelen et tilnærmet uttrykk for funksjonen ved endepunktet av en del av en lengde Ah som en sum av dens verdi ved startpunktet for den del (x = a) og differansen i det samme utgangspunkt. Nøyaktighet av metoden for å bestemme verdier av funksjonen nedenfor illustrerer tegningen.

Imidlertid er kjent og den eksakte uttrykk for verdien av funksjonen x = a + Ah gitt ved formel begrensede inkrementer (eller, alternativt, Lagrange formel)

f (a + Ah) ≈ f '(ξ) Ah + f (a),

hvor punktet x = a + ξ er i intervallet fra x = a x = a + Ah, selv om dens nøyaktige posisjon er kjent. Den eksakte formel gjør det mulig å evaluere feil i den omtrentlige formel. Hvis vi setter i Lagrange formel ξ = Ah / 2, selv om det opphører å være nøyaktig, men gir, som en regel, en mye bedre måte enn det opprinnelige uttrykket i form av differensialen.

Evaluerings formler feil ved påføring av differensial

Måleinstrumenter , i prinsippet, unøyaktig, og bringe til måledataene som svarer til feilen. De er kjennetegnet ved å begrense den absolutte feil, eller, kort sagt, den grensefeilen - positiv, som klart overstiger feil i absolutt verdi (eller høyst lik den). Å begrense den relative feil kalles den kvotient som oppnås ved å dividere det av absoluttverdien av den målte verdi.

La eksakt formel y = f (x) funksjonen som brukes til vychislyaeniya y, men verdien av x er måleresultatet, og derfor bringer y feilen. Deretter, for å finne den begrensende absolutt feil │Δu│funktsii y, ved hjelp av formelen

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

hvor │Δh│yavlyaetsya marginal feil argument. │Δu│ kvantitet må avrundes oppover, som å beregne feil i seg selv er utskifting av inkrementet på beregning differensial.