Differensialregning for funksjoner av en og flere variabler

Differensialregning er en gren av matematisk analyse, som undersøker den deriverte, differensialer og deres anvendelse i studiet av funksjoner.

Historien om

Differensial kalkulus framsto som en egen disiplin i andre halvdel av det 17. århundre, takket være arbeidet til Newton og Leibniz, som formulerte de grunnleggende bestemmelser i beregningen av differensialer og la merke til sammenhengen mellom integrasjon og differensiering. Siden disiplin han utviklet sammen med beregning av integraler, og dermed utgjør grunnlaget for matematisk analyse. Utseendet til disse sten åpnet en ny moderne periode i den matematiske verden og forårsaket fremveksten av nye disipliner i vitenskap. Også utvidet muligheten for å anvende matematikk i naturvitenskap og teknikk.

grunnleggende begreper

Differensialregning er basert på de grunnleggende begreper i matematikk. De er: et reelt tall, kontinuitet og grensen for funksjon. Etter en tid, har de tatt et moderne utseende, takket være den integrerte og differensialregning.

Prosessen med å lage

Dannelse av differensialregning i form av et program, og deretter den vitenskapelige metode inntraff før fremvekst av filosofisk teori, som er laget av Nikolay Kuzansky. Hans arbeid er ansett å være en evolusjonær utvikling fra den gamle vitenskapen om dommen. Til tross for at filosofen selv var ikke en matematiker, hans bidrag til utviklingen av matematisk vitenskap er ubestridelig. Cusa, en av de første ut av behandlingen av aritmetikk som den mest nøyaktige vitenskap, matematikk sette tiden i tvil.

I gamle matematikere universell kriteriet var en enhet, mens filosofen foreslått som et nytt tiltak uendelig returnere det nøyaktige antallet. I forbindelse med denne invertert representasjon av nøyaktighet i matematisk vitenskap. Vitenskapelig kunnskap, etter hans syn, er delt inn i rasjonell og intelligent. Den andre er mer nøyaktig, i henhold til forskeren, da den førstnevnte bare gir tilnærmede resultater.

idé

Den grunnleggende ideen og konseptet med differensialregning i forbindelse med funksjonen i et lite nabolag på enkelte punkter. For dette er det nødvendig å skape en matematisk apparat for å fungere studier hvis adferd i en liten nabolag av punkter som er montert nær oppførselen til en lineær funksjon eller et polynom. Ut fra denne definisjon av derivatet og differensial.

Fremveksten av begrepet derivatet var forårsaket av et stort antall av problemene med realfag, noe som førte til bestemmelsen av grenseverdier av samme type.

En av de viktigste oppgaver som er gitt som et eksempel, ved å starte med de eldste skole klasser, er å bestemme hastigheten av bevegelsen til et punkt på en rett linje, og konstruksjonen av tangentlinjen til denne kurve. Differensial knyttet til dette, siden det er mulig å omtrentlige funksjon i en liten nabolag av poenget med en lineær funksjon.

Sammenlignet med begrepet deriverte av en funksjon av en reell variabel, definisjonen av differensialer simpelthen passerer på funksjonen av generell karakter, spesielt bildet av en euklidsk plass til en annen.

derivat

La punkt beveger seg i retning av y-aksen, for tiden tar vi x, som er målt fra begynnelsen av et øyeblikk. Beskriver en slik bevegelse er mulig ved den funksjon y = f (x), som er forbundet til hvert tidspunkt X-koordinaten forskyvbar punkt. Denne funksjonen samtale i mekanikk for å ta loven i bevegelse. De viktigste kjennetegn ved den bevegelse, særlig ujevn, er den momentane hastighet. Når det punkt beveges langs y-aksen i henhold til lov av mekanikk, den tilfeldige tidspunkt den får koordinat x f (x). På tidspunktet x + Ah, hvor Ah representerer inkrement av tid, vil det kordinaty f (x + Ah). Således dannede formel Ay = f (x + Ah) - f (x), som kalles et inkrement funksjon. Det er et punkt av banen tilbakelagt i løpet av tiden fra x til x + Ah.

I forbindelse med forekomst av den hastighet tidsderiverte blir administrert. Den deriverte av en funksjon ved et fast punkt kalles det ytterste (forutsatt at det finnes). Det kan bli henvist til visse tegn:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, Df (x).

Prosessen med å beregne den deriverte av anropet differensiering.

Differensialregning for funksjoner av flere variabler

Denne metoden anvendes ved beregning av funksjon studie flere variable. Når det er to variablene x og y, den partielle deriverte med hensyn på x i punktet A er kalt den deriverte av denne funksjon i x med en fast y.

Kan angis ved følgende symboler:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x og ∂f (x, y) '/ ∂x.

nødvendige ferdigheter

For å kunne lære og være i stand til å løse diffury nødvendige ferdigheter i integrering og differensiering. For å gjøre det lettere å forstå de differensialligninger, må forstås emne derivat og ubestemt integral. Også skader ikke å lære å se etter den deriverte av den implisitte funksjon. Dette skyldes det faktum at i prosessen med læring vil ofte bruke integraler og differensiering.

Typer av differensialligninger

Praktisk talt all kontroll arbeid i forbindelse med den første ordens differensialligninger, er det 3 typer av ligningene: homogene, med separerbare variable, lineær inhomogene.

Det finnes også mer sjeldne arter ligninger med totale differensialer, Bernoullis likning, og andre.

Grunnleggende løsninger

Til å begynne, bør vi huske er algebraiske ligningen for en skole kurset. De inneholder variablene og tall. For å løse den konvensjonelle ligningen bør finne mange tall som tilfredsstiller en spesifisert betingelse. Vanligvis er disse ligninger har en rot, og for validering bør bare benyttes til denne verdi på plass ukjent.

Differensialligningen er lik denne. Generelt er en ligning av første orden omfatter:

• Uavhengige variabelen.
• Et derivat av den første funksjon.
• Funksjon eller avhengig variabel.

I noen tilfeller kan det ikke være noen ukjent, x eller y, men det er ikke så viktig som det er nødvendig å ha den første deriverte, uten høyere ordens derivater til oppløsningen, og den differensialregning var sann.

Løs differensialligningen - det vil si å finne det sett med alle funksjoner som er egnet til uttrykk. Slike sett av funksjoner blir ofte kalt den generelle løsningen kontroll.

integralregning

Integral sten er en av seksjonene av matematisk analyse, som undersøker begrepet integrerte, egenskaper og metoder for beregningene.

Ofte beregning av integralet skjer ved beregning av arealet av et krumlinjet form. På denne måte kan en begrensningsflate, mot hvilken et forutbestemt område av den innskrevne polygon form med en gradvis økning i hånden, og datasiden kan gjøres mindre enn tidligere angitte vilkårlig liten verdi.

Hovedideen ved beregning av arealet av en hvilken som helst geometrisk form er å beregne arealet av et rektangel, så er det bevis på at dens område er lik produktet av lengden av bredden. Når det gjelder geometri, så alle konstruksjonene er laget ved hjelp av en linjal og kompass, og da forholdet mellom lengde og bredde er en fornuftig verdi. Ved beregning av arealet av en rettvinklet trekant kan bestemmes at hvis du setter en neste trekant, et rektangel dannet. I området av parallellogram regnes i en lignende, men litt mer komplisert metode, innenfor et rektangel og en trekant. I området av et polygon regnes av trekanter som inngår i den.

Ved bestemmelse gitt vilkårlig, ikke denne metoden ikke passer kurven. Hvis vi dele det opp i enkelte ruter, vil det forbli ubesatte plasser. I dette tilfellet, prøv å bruke to strøk, med rektangler over og under, som en følge av de inkluderer grafen til funksjonen og inkluderer ikke. Viktig her er en måte å bryte disse rektangler. Også, hvis vi tar pause mer og mer redusert, bør det området av topp og bunn sammen på en viss verdi.

Det skal returnere til en metode for å separere i rektangler. Det er to populære metoder.

Riemann ble formalisert definisjon av integralet, laget av Leibniz og Newton, som arealet av sub-graf. I dette tilfelle vi betraktet som en figur som består av et visst antall vertikale rektangler som oppnås ved å dividere intervallet. Når bryte en minskning er det en grense for hvilken det reduserte areal på en slik figur er denne grensen kalles Riemann integralet av en funksjon ved et bestemt intervall.

En annen metode er å konstruere Lebesgue integral, som består i det faktum at i stedet for separasjon angitt område på en del av integranden og kompilere deretter integrert summen av de verdier som ble oppnådd i disse delene, med mellomrom delt inn sitt område av verdier, og deretter summert sammen med de tilsvarende tiltak omvendte bilder av disse integraler.

moderne hjelpemidler

En av de viktigste fordelene for studiet av differensial- og integralregning Fikhtengol'ts skrev - "av differensial- og integralregning." Hans lærebok er et grunnleggende verktøy for studier av matematisk analyse, som tålte mange utgaver og oversettelser til andre språk. Laget for studenter og i lang tid brukt i en rekke utdanningsinstitusjoner som en av de viktigste fordelene med studien. Det gir teoretisk informasjon og praktiske ferdigheter. Først publisert i 1948.

Algoritme forskning funksjon

For å utforske metoder for differensialregning funksjon, må du følge allerede gitt algoritme:

1. Finn domenet til funksjonen.
2. Finne røttene til den gitte ligningen.
3. Beregn ytterpunktene. For å gjøre dette, beregner vi den deriverte og et punkt der det er lik null.
4. Vi erstatte verdien oppnådd i Eq.

Varianter av differensiallikninger

Kontroll av den første orden (ellers differensialregning av en variabel) og deres typer:

• Med separerbare variable ligning: f (y) dy = g (x) dx.
• Den enkleste ligning eller differensialregning funksjon av en variabel, som har formelen: y '= f (x).
• Den lineære første ordens ikke-ensartet kontroll: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli differensialligning: y '+ P (x) y = Q (x) y-en.
• Ligning totale differensialer med: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

De differensiallikninger av andre orden, og deres typer:

• Homogene lineære andre ordens differensiallikning med konstante ^{koeffisienter: y n + py '+ qy} = 0 p, q representerer R.
• Inhomogen lineær andre ordens differensiallikning med konstante koeffisienter ^{verdi: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogen lineær ^{differensialligning: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, og inhomogen annen ordens ^{ligning: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Differensiallikninger av høyere bestillinger og deres typer:

• Differensialligningen, slik at reduksjon av den ^{orden: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• En lineær ligning av høyere orden ^{_{homogen: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, og ^{_{inhomogen: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Stadier av løse problemet med differensialligningen

Med hjelp av fjernkontrollen er løst, ikke bare matematikk eller fysiske problemer, men også de ulike problemene biologi, økonomi, sosiologi og andre. Til tross for bredt spekter av emner, bør følge en enkel logikk sekvens for å løse disse problemene:

1. Utarbeidelse kontroll. En av de vanskeligste stadiene, som krever maksimal nøyaktighet, fordi eventuelle feil vil føre til helt gale resultater. Det er nødvendig å ta hensyn til alle de faktorer som påvirker prosessen og bestemmer startbetingelsene. Det bør også være basert på fakta og logiske slutninger.
2. For å løse ligninger. Denne prosessen er enklere til det første punktet, siden det krever bare strenge gjennomføring av matematiske beregninger.
3. Analyse og vurdering av resultatene. Avledet oppløsning bør vurderes for installasjon av praktiske og teoretiske verdier av resultatet.

Et eksempel på bruk av differensialligninger i medisin

Bruke fjernkontrollen innen medisin er funnet i konstruksjonen av epidemiologiske matematisk modell. Vi bør ikke glemme at disse ligningene er også funnet i biologi og kjemi, som er i nærheten av medisin, fordi det spiller en viktig rolle i studiet av ulike biologiske populasjoner og kjemiske prosesser i kroppen.

I dette eksempel kan den epidemisk spredning av infeksjon behandles i et isolert samfunn. Innbyggerne er delt inn i tre typer:

• Infiserte, (er inkubasjonstiden kort) antallet x (t), som besto av enkeltpersoner, infeksiøse bærere, som hver er smittsomme.
• Den andre typen omfatter mottakelige individer y (t), kan bli smittet av kontakt med smittet.
• Den tredje typen omfatter ildfaste individer z (t), som er immune eller tapt på grunn av sykdom.

Antall individer hele tiden, holde fødselen, naturlig dødsfall og migrasjon er ikke vurdert. I kjernen vil være to hypoteser.

Prosent sykdom på et eller annet tidspunkt er lik x (t) y (t) (basert antagelsen på teorien om at antall tilfeller i forhold til antall krysningspunkter mellom pasienter og responsive elementer som i første tilnærmelse er proporsjonal med x (t) y (t)), i derfor antallet tilfeller øker, og antall følsomme avtar med en hastighet som er beregnet ved formelen ax (t) y (t) (a> 0).

Antall ikke-reagerende dyr som døde eller ervervet immunitet, øket med en hastighet som er proporsjonal med antall tilfeller, bx (t) (b> 0).

Som et resultat, kan du sette opp et system av ligninger med alle de tre indikatorene på grunnlag av sine konklusjoner.

Eksempel bruk økonomi

Differensial kalkulus er ofte brukt i økonomisk analyse. Den viktigste oppgaven på en økonomisk analyse er ansett for å være studiet av verdiene av økonomien, som er registrert i form av funksjonen. Den brukes til å løse problemer som for eksempel endringer i skatteøkninger rett etter, startkontingent, endringer i inntekter når du endrer verdien av produktet, i hvor stor andel kan erstattes av pensjonerte ansatte med nytt utstyr. For å løse slike problemer er det nødvendig å konstruere en kommunikasjonsfunksjon av de innkommende variabler, som, etter å ha blitt studert av differensialregning.

er det ofte nødvendig å finne den mest optimale ytelse i den økonomiske sfæren: maksimal produktivitet, høyest inntekt, minst kostnader og så videre. Hver slik komponent er en funksjon av en eller flere argumenter. For eksempel kan produksjonen bli betraktet som en funksjon av arbeidskraft og kapital. I denne forbindelse, å finne en passende verdi kan reduseres for å finne maksimum eller minimum av en funksjon av en eller flere variable.

Slike problemer skaper en klasse for ekstremalpunkter problemene i det økonomiske feltet, som du trenger differensial kalkulus. Når økonomisk indikator er nødvendig for å minimalisere eller øke som en funksjon av andre parametre, vil den økning forholdet maksimalpunktet funksjon på de argumenter tendens til null dersom økning av argumentet tendens til null. Ellers, når en slik holdning har en tendens til en viss positiv eller negativ verdi, er det angitte punkt ikke er egnet, fordi ved å øke eller redusere argumentet kan endres avhengig verdi i den ønskede retning. I differensialregning terminologi, vil dette bety at de nødvendige betingelser for optimal funksjon er en nullverdi for den deriverte.

Økonomien er ikke uvanlig problem med å finne den ytterpunkt av en funksjon av flere variabler, fordi økonomiske indikatorer er bygget opp av mange faktorer. Slike problemer er godt forstått i teorien for funksjoner av flere variable, metoden for å beregne differanse. Slike problemer inkluderer ikke bare maksimert og minimert funksjon, men også begrensninger. Disse spørsmålene er knyttet til matematisk programmering, og de er løst ved hjelp av spesialutviklede metoder er også basert på denne grenen av vitenskapen.

Blant de fremgangsmåter for differensialregning som anvendes i økonomien, er en viktig snitt på prøve. I det økonomiske området, refererer betegnelsen seg til et sett av metoder for forskning med variabel ytelse og resultater når man endrer volumet av etableringen, forbruk, basert på en analyse av deres grenseverdier. Begrensende indikasjon betraktet derivat eller partielle deriverte med flere variabler.

Differensial kalkulus av flere variabler - et viktig tema for matematisk analyse. For en detaljert studie, kan du bruke en rekke læremidler for høyere utdanningsinstitusjoner. En av de mest kjente opprettet Fikhtengol'ts - "av differensial- og integralregning." Hvor mye av navnet for løsning av differensiallikninger av stor betydning å ha kompetanse til å arbeide med integraler. Når det er en differensialregning av funksjoner av en variabel, blir avgjørelsen enklere. Selv om det bør bemerkes, følger det samme grunnleggende regler. I praksis, for å undersøke funksjonen av differensial kalkulus, bare følg den allerede eksisterende algoritme, som er gitt i videregående skole, og bare litt komplisert med innføring av nye variabler.