Lineære og homogen differensiallikning av den første orden. eksempler på løsninger

Jeg synes vi skal begynne med historien om den strålende matematisk verktøy som differensialligninger. Som alle differensial og integralregning, ble disse ligningene oppfunnet av Newton i slutten av det 17. århundre. Han trodde det var hans oppdagelse så viktig at selv den krypterte meldingen, som i dag kan oversettes som følger: "Alle naturlovene beskrevet av differensialligninger" Det kan virke som en overdrivelse, men det er sant. Enhver lov i fysikk, kjemi, biologi, kan beskrives med disse ligningene.

En enorm bidrag til utvikling og etablering av teorien om differensialligninger har matematikk av Euler og Lagrange. Allerede i det 18. århundre de oppdaget og utviklet det som nå studerer ved senior universitet kurs.

En ny milepæl i studiet av differensialligninger begynte takket være Anri Puankare. Han skapte en "kvalitativ teorien for differensialligninger", som, kombinert med teorien for funksjoner av komplekse variable bidratt vesentlig til grunnlaget for topologi - vitenskapen om plass og dens egenskaper.

Hva er differensiallikninger?

Mange er redd for uttrykket "differensiallikning". Men i denne artikkelen vil vi sette ut i detalj essensen av denne svært nyttig matematisk verktøy som er faktisk ikke så komplisert som det ser ut fra tittelen. For å begynne å snakke om en første ordens differensialligning, må du først bli kjent med de grunnleggende begreper som er iboende i forbindelse med denne definisjonen. Og vi begynner med differensial.

differensial

Mange vet dette begrepet siden videregående skole. Men fortsatt bor på den i detalj. Forestill grafen til funksjonen. Vi kan øke det i en slik grad at noen av dens segment blir en rett linje. Det vil ta to punkter som er uendelig nær hverandre. Forskjellen mellom deres koordinater (x eller y) er forsvinnende. Og det kalles differensial og tegn utpeke dy (differensial av y) og dx (differensial av x). Det er viktig å forstå at differensial er ikke den ultimate verdi, og dette er meningen og den viktigste funksjonen.

Og nå må du vurdere følgende elementer, som vi trenger for å forklare differensialligningen konseptet. It - derivat.

derivat

Alle av oss må ha hørt på skolen og denne oppfatningen. De sier at den deriverte - er veksten eller reduksjonen av funksjonen. Men blir denne definisjonen mer forvirrende. La oss forsøke å forklare derivatbetegnelser av differensialer. La oss gå tilbake til den forsvinnende intervallfunksjon med to punkter, som er plassert på et minimum avstand fra hverandre. Men også utover denne avstanden funksjonen er på tide å skifte til en viss verdi. Og for å beskrive denne forandringen og komme opp med et derivat som ellers ville bli skrevet som forholdet av differensialer: f (x) '= df / dx.

Nå er det nødvendig å vurdere de grunnleggende egenskapene til den deriverte. Det er bare tre:

1. Derivat summen eller differansen kan representeres som summen eller differansen av derivatene: (a + b) '= a' + b 'og (ab)' = a'-b'.
2. Den andre egenskapen er koblet til multiplikasjon. Avledede - er summen av verk av en funksjon til en annen derivat: (a * b) '= a' * b + a * b'.
3. Den deriverte av differansen kan skrives som følgende ligning: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Alle disse funksjonene komme godt med for å finne løsninger på differensiallikninger av første orden.

Dessuten er det partielle deriverte. Anta at vi har en funksjon av z, som avhenger av variablene x og y. For å beregne det partielle deriverte av denne funksjon, for eksempel i x, trenger vi å ta den variable y for konstant og lett å skille.

integrert

Et annet viktig begrep - integrert. Faktisk er det motsatte av derivatet. Integraler finnes flere typer, men de enkleste løsninger av differensialligninger, trenger vi de mest trivielle ubestemt integral.

Så, hva er integrert? La oss si at vi har noen sammenheng f av x. Vi tar fra den integralet og oppnå en funksjon F (x) (det er ofte referert til som en primitiv), som er et derivat av den opprinnelige funksjon. Derfor F (x) '= f (x). Dette innebærer også at integralet av den deriverte er lik den opprinnelige funksjon.

Løse differensiallikninger er det svært viktig å forstå betydningen og funksjon integrert, siden svært ofte må ta dem for å finne løsninger.

Ligningene er forskjellig avhengig av deres natur. I neste avsnitt vil vi se på typer av første ordens differensiallikninger, og deretter lære å løse dem.

Klasser av differensiallikninger

"Diffury" dividert med rekkefølgen av derivater som er involvert i dem. Det er således en første, andre, tredje eller flere orden. De kan også være delt i flere klasser: ordinære og partielle.

I denne artikkelen vil vi vurdere de ordinære differensiallikninger av første orden. Eksempler og løsninger vi diskutere i de neste avsnittene. Vi anser bare TAC fordi det er den mest vanlige typer ligninger. Vanlig delt inn i underarter: med separable variabler, homogene og heterogene. Deretter vil du lære hvordan de skiller seg fra hverandre, og lære hvordan du kan løse dem.

I tillegg kan disse ligninger kan kombineres, slik at etter at vi får et system av differensiallikninger av første orden. Slike systemer, vi også se på og lære å løse.

Hvorfor vi vurderer kun den første bestillingen? Fordi det er nødvendig å starte med en enkel og beskrive alle forbundet med differensialligninger, i en enkelt artikkel det er umulig.

Ligninger med separable variabler

Dette er kanskje den mest enkle første ordens differensiallikninger. Dette er eksempler som kan skrives som: y '= f (x) * f (y). For å løse denne ligningen vi trenger representasjon formelen av derivatet som forholdet mellom differensialen: y '= dy / dx. Med det får vi ligningen: dy / dx = f (x) * f (y). Nå kan vi slå til metode for å løse vanlige eksempler: skille variablene i deler, det vil si spole frem all den variable y i den delen der det er dy, og også gjøre den variable x ... Vi får en ligning av formen: dy / f (y) = f (x) dx, noe som oppnås ved å ta integralene for de to deler. Ikke glem om konstant som du ønsker å sette etter integrasjon.

Løsningen av noen "diffura" - er en funksjon av x ved y (i vårt tilfelle), eller hvis det er en numerisk tilstand, er svaret et tall. La oss se et konkret eksempel hele løpet av vedtaket:

y '= 2y * sin (x)

Overfør variablene i forskjellige retninger:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Nå tar integraler. Alle av dem kan bli funnet i en spesiell bord av integraler. Og vi får:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Ved behov kan vi uttrykke "y" som en funksjon av "X". Nå kan vi si at vår differensialligning er løst, hvis ikke spesifisert tilstand. Kan spesifiseres tilstand, for eksempel y (n / 2) = e. Da vil vi bare erstatte verdien av disse variablene i avgjørelsen og finne verdien av konstanten. I vårt eksempel er det en.

Homogene første ordens differensialligninger

Nå på de mer komplekse deler. Homogene første ordens differensialligninger kan skrives på den generelle form som: y '= z (x, y). Det bør bemerkes at riktig funksjon av to variabler er ensartet, og det kan ikke deles i to, avhengig av: z x og z til y. Sjekk om likningen er homogen eller ikke, er ganske enkel: vi gjør substitusjon x = k * x og y = k * y. Nå kuttes vi alle k. Hvis disse brevene er droppet, da ligningen homogene og kan trygt fortsette til sin løsning. Se fremover, sier vi: prinsippet om løsningen av disse eksemplene er også veldig enkelt.

Vi trenger å gjøre substitusjon: y = t (x) * x, hvor t - en funksjon som også er avhengig av x. Da kan vi uttrykke den deriverte: y '= t' (x) * x + t. Erstatte alt dette i vår opprinnelige ligningen og forenkle det, har vi eksempel på separasjon av variable t som x. Løs den og oppnå avhengighet av t (x). Da vi fikk den, bare erstatte vår forrige substitusjon y = t (x) * x. Da får vi den avhengigheten av y på x.

For å gjøre det klarere, skal vi forstå et eksempel: x * y '= yx * e y / x.

Når du sjekker utskifting av alle fallende. Så, er ligningen virkelig homogen. Nå gjør en substitusjon, vi snakket om: y = t (x) * x og y '= t' (x) * x + t (x). Etter forenkling av følgende ligning: T '(x) * x = -e t. Vi bestemmer oss for å få en prøve med atskilt variabler, og vi ^{får: e -t = ln (C *} x). Vi trenger bare å bytte ut t ved y / x (fordi hvis y = t * x, deretter t = y / x), og vi får ^{svaret: e -y / x = ln (} x * C).

Lineær differensialligning av første orden

Det er på tide å vurdere en annen bredt tema. Vi vil se heterogene førsteordens differensialligninger. Hvordan de skiller seg fra de to foregående? La oss innse det. Lineære første ordens differensialligninger i den generelle form av ligning kan skrives slik: y '+ g (x) * y = z (x). Det bør gjøres klart at z (x) og g (x) kan være konstante verdier.

Her er et eksempel: y '- y * x = x ^2.

Det er to måter å løse, og vi bestille La oss undersøke dem begge. Den første - metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.

For å løse ligningen på denne måte, er det nødvendig å sette likhetstegn mellom den første høyre side til null, og løse den resulterende ligning som etter overføring av deler blir:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = XDX;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C Y = _C1 * e ^{x2 / 2.}

Nå er det nødvendig å skifte ut konstant C ₁ på funksjonen v (x), som vi vil finne.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Tegn en erstatning derivat:

^{y '= v' * e x2} / ^2-x * v * e ^{x2 / 2.}

Og erstatte disse uttrykkene i den opprinnelige ligningen:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Du kan se at i venstre side av de to begrepene er redusert. Hvis noen eksempel på at ikke skjedde, da har du gjort noe galt. Vi fortsetter til:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Nå løser vi den vanlige ligningen der du ønsker å skille variablene:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

For å fjerne den integrerte, må vi bruke delvis integrasjon her. Men dette er ikke tema for denne artikkelen. Hvis du er interessert, kan du lære på egen hånd til å utføre slike handlinger. Det er ikke vanskelig, og med nok dyktighet og omsorg er ikke tidkrevende.

Med henvisning til den andre metode løsningen av den inhomogene ligninger: Bernoulli-metoden. Hva tilnærming er raskere og enklere - det er opp til deg.

Så, når løse denne metoden, må vi gjøre substitusjon: y = k * n. Her, k og n - enkelte funksjoner avhengig av x. Deretter derivatet vil se ut som: y '= k' * n + k * n'. Substitute to erstatninger i ligningen:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Gruppe opp:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Nå er det nødvendig å likestille til null, som står i parentes. Nå, hvis du kombinerer de to resulterende ligninger, får vi et system av første ordens differensiallikninger som skal løses:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Den første likestilling bestemme hvordan den vanlige ligningen. For å gjøre dette, må du skille variabler:

dn / dx = x * v;

dn / n = XDX.

Vi tar integral og vi får: ln (n) = x ^2/2. Så, hvis vi uttrykke n:

n = e ^{x2 / 2.}

Nå erstatte den resulterende ligning inn i den andre ligning:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Og trans, vi får samme ligningen som i den første metoden:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Vi vil heller ikke diskutere videre tiltak. Det sies at ved første første-ordens differensialligninger løsning medfører betydelige vanskeligheter. Det er imidlertid en dypere innlevelse i temaet begynner å bli bedre og bedre.

Hvor er differensiallikninger?

Veldig aktive differensiallikninger brukt i fysikk, som nesten alle de grunnleggende lovene er skrevet i differensialform, og disse formlene, som vi ser - en løsning på disse ligningene. I kjemi, brukes de av samme grunn: de grunnleggende lovene er utledet gjennom dem. I biologi er de differensialligninger som brukes for å modellere oppførselen til systemer, så som rovdyr - byttedyr. De kan også brukes til å lage modeller av reproduksjon, for eksempel kolonier av mikroorganismer.

Som differensiallikninger hjelpe i livet?

Svaret på dette spørsmålet er enkelt: ingenting. Hvis du ikke er en vitenskapsmann eller ingeniør, er det lite sannsynlig at de vil være nyttig. Men ikke vondt å vite hva differensialligningen og det er løst for den generelle utviklingen. Og da spørsmålet om en sønn eller datter, "hva en differensialligning?" ikke sette deg i en blindvei. Vel, hvis du er en forsker eller ingeniør, så vet du hvor viktig dette temaet i noen vitenskap. Men viktigst av alt, at nå på spørsmålet "hvordan å løse differensialligningen av den første bestillingen?" du vil alltid være i stand til å gi et svar. Enig, det er alltid hyggelig når du innser at hva folk er selv redd for å finne ut.

De viktigste problemene i studien

Hovedproblemet i forståelsen av dette emnet er en dårlig vane med integrering og differensiering funksjoner. Hvis du er ubehagelig TAR deriverte og integraler, er det trolig verdt mer å lære, for å lære ulike metoder for integrering og differensiering, og bare går videre til studiet av det materialet som har blitt beskrevet i artikkelen.

Noen mennesker er overrasket over å høre at dx kan overføres, som tidligere (i skolen) hevdet at fraksjonen dy / dx er udelelig. Deretter må du lese litteratur om derivatet og forstå at det er holdningen til uendelig små mengder, som kan manipuleres til å løse ligninger.

Mange folk ikke umiddelbart innse at løsningen av differensiallikninger av første orden - dette er ofte en funksjon eller neberuschiysya integrert, og dette vrangforestilling gir dem en masse problemer.

Hva annet kan studeres for bedre å forstå?

Det er best å starte videre nedsenking inn i verden av differensialregning av spesialiserte lærebøker, for eksempel i matematisk analyse for studenter med ikke-matematiske spesialiteter. Du kan deretter flytte til mer spesialisert litteratur.

Det sies at i tillegg til differensial, er det fortsatt integrert ligninger, så du vil alltid ha noe å strekke seg etter og hva du skal studere.

konklusjon

Vi håper at etter å ha lest denne artikkelen vil du ha en idé om hva de differensiallikninger og hvordan du løser dem riktig.

I alle fall, matematikk på noen måte nyttig for oss i livet. Det utvikler logikk og oppmerksomhet, uten noe som hver mann, som uten hender.