Et system av lineære algebraiske ligninger. Homogent system av lineære algebraiske ligninger

På skolen, studerte hver enkelt av oss ligningen, og sikkert ligningssystemet. Men ikke mange vet at det er flere måter å løse dem. I dag vil vi se nøyaktig alle metoder for å løse et system av lineære algebraiske ligninger, som er sammensatt av mer enn to ligninger.

historien

I dag vet vi at kunsten å løse ligninger og deres systemer opprinnelse i det gamle Babylon og Egypt. Men likestilling i sin kjente formen dukket opp til oss etter forekomst av likhetstegnet "=", som ble introdusert i 1556 av den engelske matematikeren posten. For øvrig ble det symbol som velges for en grunn: Det betyr to parallelle like segmenter. Faktisk har det beste eksempel på likestilling ikke komme opp.

Grunnleggeren av moderne skrift og symboler av ukjent omfang, den franske matematikeren Fransua Viet. Men den betegnelsen vesentlig forskjellig fra i dag. For eksempel, et kvadrat av et ukjent antall han utpekt av bokstaven Q (lat "quadratus".) Og kube - (. Lat "Cubus") bokstaven C. Disse symbolene nå synes ubehagelig, men da var den mest intuitive måten å skrive et system av lineære algebraiske ligninger.

Imidlertid er en ulempe ved de rådende metoder for løsning var at matematikerne har betraktet bare de positive røttene. Kanskje dette skyldes det faktum at negative verdier ikke har noen praktisk anvendelse. En eller annen måte, men det første som skal vurderes negative røtter begynte etter den italienske matematikk Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano og Raphael Bombelli i det 16. århundre. Et moderne utseende, den viktigste metoden for å løse kvadratiske likninger (gjennom diskriminant) ble etablert bare i det 17. århundre gjennom verkene til Descartes og Newton.

I midten av det 18. århundre sveitsiske matematikeren Gabriel Cramer funnet en ny måte å gjøre løsningen av systemer av lineære ligninger enklere. Denne metoden ble senere oppkalt etter ham, og til denne dag vi bruker den. Men om metoden for Kramer oss snakke litt senere, men for nå vil vi diskutere lineære ligninger og deres løsninger separat fra systemet.

lineære ligninger

Lineære ligninger - den enkleste ligning med variable (r). De tilhører den algebraiske. Lineære ligninger skrives på den generelle form som følger: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... og _n * x _n = b. Innlevering av dette skjemaet trenger vi i utarbeidelsen av systemer og matriser på.

Et system av lineære algebraiske ligninger

Definisjonen av dette begrepet er: et sett av likninger som har felles ukjente og den generelle løsningen. Vanligvis, på skolen alt løst et system med to eller tre ligninger. Men det finnes systemer med fire eller flere komponenter. La oss se først hvordan å skrive dem ned slik at senere det var praktisk å løse. For det første, vil systemet av lineære algebraiske ligninger se bedre ut hvis alle variablene er skrevet som x med tilsvarende Indeks: 1,2,3 og så videre. For det andre bør det føre alle de ligninger i kanonisk form: en ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... og _n * x _n = b.

Etter alle disse trinnene, kan vi begynne å fortelle deg hvordan du kan finne løsningen av systemer av lineære ligninger. Veldig mye for som vil komme godt med matrise.

matrise

Matrise - et bord som består av rader og kolonner, og dens elementer er på sitt skjæringspunkt. Dette kan enten være en bestemt verdi eller variabel. I de fleste tilfeller for å betegne elementer som er anordnet under indeksene (f.eks en ₁₁ eller ₂₃ brønn). Den første indeksen indikerer rad nummer, og den andre - i kolonnen. Nevnte matriser som ovenfor og eventuelle andre matematiske element kan utføre ulike operasjoner. Dermed kan du:

1) Trekk og legge til den samme størrelsen på tabellen.

2) Multipliser matrisen til et hvilket som helst tall eller vektor.

3) Transponer: transformeringsmatrisen linjer i kolonnene, og kolonnene - i linjen.

4) Multipliser matrise, hvis antall rader er lik en av dem et forskjellig antall kolonner.

For å diskutere i detalj alle disse teknikkene, som de er nyttige for oss i fremtiden. Subtraksjon og tilsetning av matriser er meget enkel. Siden vi ta samme størrelse matrise, hvert element i en tabell er relatert til alle andre element. Dermed har vi til (trekke) to av disse elementer (det er viktig at de sto på samme bakken i sine matriser). Når multiplisert med antall matrise eller vektor man multiplisere hvert element i matrisen med det nummeret (eller vektor). Transponering - en svært interessant prosess. Veldig interessant og til å se ham i det virkelige liv, for eksempel når du endrer retning av en tablett eller telefon. Ikonene på skrivebordet er en matrise, og med en endring i stilling, er det transponert og blir bredere, men avtar i høyde.

La oss undersøke mer en prosess som matrisemultiplikasjon. Selv om han fortalte oss, og er ikke nyttig, men vær oppmerksom på at det fortsatt er brukbart. Multipliser to matriser kan være bare under forutsetning av at antallet kolonner i en tabell er lik antallet av andre rader. Nå tar en matrise linje elementer og andre elementer i den tilsvarende kolonne. Multiplisere dem med hverandre og deretter summen (det vil si, for eksempel, et produkt av elementene ₁₁ og ₁₂ og ved ₁₂ b og ₂₂ b, vil være lik: a * b _{11 12} + ₁₂ * b og _22). Således er en enkelt tabell element, og en metode som ligner på den fylte ytterligere.

Nå kan vi begynne å vurdere hvordan å løse systemer av lineære ligninger.

Gauss

Dette temaet begynte å skje på skolen. Vi vet veldig godt begrepet "system av to lineære ligninger" og vet hvordan du kan løse dem. Men hva om antall ligninger er større enn to? Dette vil hjelpe oss Gauss-metoden.

Selvfølgelig er denne metoden praktisk å bruke, hvis du gjør en matrise av systemet. Men du kan ikke konvertere den og bestemme på egen hånd.

Så, hvordan å løse det med et system av lineære ligninger Gauss? Forresten, selv om denne metoden, og oppkalt etter ham, men oppdaget det i antikken. Gauss har en operasjon utført med de ligninger, for til slutt å resultere i helheten til gruppe-formen. Det vil si at du trenger å top-down (hvis riktig sted) fra den første til den siste ligningen dalte en ukjent. Med andre ord, må vi sørge for at vi har fått, sier, tre ligninger: den første - tre ukjente, i den andre - to i den tredje - en. Deretter, fra den siste ligningen, finner vi den første ukjente, erstatte sin verdi i den andre eller den første ligningen, og videre med å finne de resterende to variabler.

Cramers regel

For utviklingen av denne teknikken er avgjørende for å mestre ferdighetene til addisjon, subtraksjon av matriser, samt behovet for å være i stand til å finne determinanter. Derfor, hvis du er ubehagelig å gjøre alt dette eller ikke vet hvordan, er det nødvendig å lære og bli trent.

Hva er essensen av denne metoden, og hvordan du skal gjøre det, for å få et system av lineære ligninger Cramer? Det er veldig enkelt. Vi trenger å bygge en matrise av tall (nesten alltid) koeffisientene til et system av lineære algebraiske ligninger. For å gjøre dette, bare ta nummeret for det ukjente, og vi arrangerer et bord i den rekkefølgen de er registrert i systemet. Hvis før nummeret er et tegn "-", så vi skriver negativ koeffisient. Så vi gjorde det første matrise av koeffisientene for de ukjente, ikke inkludert tallet etter likhetstegnet (selvfølgelig at ligningen må reduseres til den kanoniske formen når den rette er bare et tall, og venstre - alle de ukjente med koeffisienter). Deretter må du gjøre noen matriser - en for hver variabel. For dette formål er i den første grunnmassen erstattes med en kolonne kolonnenumre med koeffisientene hver etter likhetstegnet. Dermed får vi noen matriser og deretter finne sine determinanter.

Etter at vi fant kvalifiseringen, det er liten. Vi har en første matrise, og det finnes flere avledet matriser, som svarer til ulike variabler. For å få en systemløsning, deler vi determinant av den resulterende tabellen på den primære determinant av tabellen. Det resulterende nummer er det verdien av en variabel. Tilsvarende finner vi alle de ukjente.

andre fremgangsmåter

Det finnes flere metoder for å oppnå oppløsning av systemer av lineære ligninger. For eksempel, en såkalt Gauss-Jordan-metoden, som er brukt for å finne løsninger av systemet av gradslikninger, og angår også anvendelse av matriser. Det er også en Jacobi-metode for å løse et system av lineære algebraiske ligninger. Han tilpasser seg lett til alle datamaskiner og brukes i databehandling.

kompliserte tilfeller

Kompleksitet oppstår vanligvis hvis antall ligninger er mindre enn antall variabler. Da kan vi sikkert si at, eller systemet er inkonsekvent (dvs. har ingen røtter), eller antall av sine beslutninger har en tendens til uendelig. Hvis vi har det andre tilfellet - er det nødvendig å skrive den generelle løsningen av systemet av lineære ligninger. Den vil omfatte minst ett variabelt.

konklusjon

Her kommer vi til slutten. For å oppsummere: vi må forstå hva systemet matrise, lært å finne den generelle løsningen av et system av lineære ligninger. I tillegg vurderte vi andre alternativer. Vi har funnet ut hvordan de skal løse systemer av lineære ligninger: Gauss-eliminasjon og Cramers regel. Vi snakket om vanskelige saker og andre måter å finne løsninger.

Faktisk er dette problemet mye mer omfattende, og hvis du ønsker å bedre forstå det, anbefaler vi deg å lese mer av faglitteratur.