Røttene til en kvadratisk likning: algebraisk og geometrisk betydning

I algebra kvadrat som kalles en andre ordens ligning. Av ligning innebære et matematisk uttrykk, som har i sin sammensetning av ett eller flere ukjente. Annen-ordens ligning - en matematisk ligning som har minst en ukjent i kvadratgrader. Den kvadratiske ligning - andre-ordens ligning vist identitet for å bety lik null. Løs ligningen kvadrat er den samme som bestemmer kvadratroten av likningen. Typisk kvadratisk ligning i den generelle formen:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

hvor W, T - koeffisientene til røttene av den kvadratiske ligning;

O - fri koeffisient;

c - roten av den kvadratiske likning (alltid har to verdier c1 og c2).

Som allerede nevnt, er problemet med å løse en kvadratisk likning - å finne røttene til en kvadratisk likning. Å finne dem, må du finne en diskriminant:

N = T ^ 2 - 4 * W * O

Discriminant formler nødvendige for å finne løsninger rot c1 og c2:

c1 = (+ -T √N) / 2 * R og c2 = (-t - √N) / 2 * W

Hvis den kvadratiske ligning av den generelle form faktoren ved roten av t har en multippelverdi, blir ligning erstattes med:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

Og sine røtter ligne uttrykket:

c1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W og c2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

Ofte ligningen kan ha en litt annerledes utseende når CH2 kan ha noen koeffisient W. I dette tilfellet har ligningen over formen:

c ^ 2 + F * c + L = 0

hvor F - faktor ved roten;

L - gratis faktor;

c - roten av kvadrat (alltid har to verdier c1 og c2).

Denne type likning kalles en kvadratisk likning gitt. Navnet "redusert" gikk fra formel aktivering typisk kvadratiske ligningen, hvis koeffisient W rot har en verdi på en. I dette tilfellet, røttene av kvadratisk likning:

c1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-l)], og c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-l)]

I tilfellet med til og med verdier for koeffisienten av F rot røtter vil ha en løsning:

c1 = -F + √ (F ^ 2-l) c2 = -F - √ (F ^ 2-l)

Hvis vi snakker om andregradslikninger, er det nødvendig å huske teorem av Vieta. Den fastslår at følgende lover for redusert kvadratisk likning:

c ^ 2 + F * c + L = 0

c1 + c2 = -F og c1 * c2 = L

Generelt kvadratisk likning kvadratisk likning røtter er relaterte avhengigheter:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

c1 + c2 = -T / W og c1 * c2 = O / W

Nå vurdere alternativene for kvadratiske ligninger og deres løsninger. Alle av dem kan være to, som om mangler et medlem av CH2, da ligningen vil ikke være firkantet. derfor:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 av den kvadratiske ligning utførelse uten fri faktor (medlem).

Løsningen er:

W * c ^ 2 = -T * c

c1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 av den kvadratiske ligning utførelsesform uten den andre sikt, når den samme modulo røttene av den kvadratiske ligning.

Løsningen er:

W * c ^ 2 = -O

c1 = √ (O / W), c2 = - √ (O / W)

Alt dette var algebra. Vurdere den geometriske betydningen av som har en kvadratisk likning. den andre ordens ligning i geometrien beskrives av en parabel funksjon. ganske ofte oppgaven er å finne røttene til en kvadratisk likning for high school-elever? Disse røtter gi konseptet med hvordan det skjærer grafen funksjon (parabelen) med det koordinataksesystem - horisontalen. Hvis, har besluttet den kvadratiske ligningen, får vi det irrasjonelle avgjørelsen av røttene, vil da krysset ikke. Dersom roten har en fysisk verdi, krysser funksjonen x-aksen på ett sted. Hvis de to røttene, henholdsvis deretter, - to krysningspunkt.

Det er verdt å merke seg at under de irrasjonelle røttene innebære en negativ verdi under roten, ved roten funn. Fysisk verdi - noen positiv eller negativ verdi. I tilfelle av å finne bare en rot betyr at røttene til det samme. Orienteringen av den kurve i et kartesisk koordinatsystem kan også være forhåndsbestemt av koeffisientene til W røtter og T. Hvis W har en positiv verdi, er de to grener av parabelen rettet oppover. Hvis W har en negativ verdi, - nedover. Likeledes, hvis koeffisienten B har et positivt fortegn, hvor W er også positiv, toppunktet til parabelen funksjon er innenfor "y" fra "-" til uendelig "+" uendelig, "c" i området fra minus uendelig til null. Hvis T - positiv verdi, og W - er negativ, på den andre siden av abscissen.