Maclaurin og nedbrytning av enkelte funksjoner

Studerer avansert matematikk bør være oppmerksom på at summen av en potensrekke i intervallet konvergens av flere av oss, er en kontinuerlig og ubegrenset antall ganger en differensiert funksjon. Oppstår spørsmålet: er det mulig å hevde at en vilkårlig funksjon f (x) - er summen av en potensrekke? Det vil si, under hvilke forhold den f-sjoner f (x) kan representeres ved en potensrekke? Betydningen av denne saken er at det er mulig å erstatte ca £ Theological f (x) er summen av de første form av et strøm serien, er at et polynom. En slik erstatning funksjon er ganske enkelt uttrykk - polynom - er praktisk og løse visse problemer i matematisk analyse, nemlig å løse integraler ved beregningen av differensialligninger , etc ...

Det er bevist, at for noen f-ii f (x), karakterisert ved at derivatene av den (n + 1) 'te orden kan beregnes, herunder den siste i nærheten av (α - R; x ₀ + R) i et punkt x = α virkelige formel er:

Denne formelen er oppkalt etter den berømte vitenskaps Brooke Taylor. Et antall som er avledet fra den foregående, blir kalt en Maclaurin serie:

En regel som gjør det mulig å fremstille ekspansjon i en Maclaurin serie:

1. Bestemme derivater av første, andre, tredje, ... orden.
2. Beregne hva er derivater ved x = 0.
3. Record Maclaurin serie for denne funksjon, og deretter for å bestemme intervallet av konvergens.
4. Bestemme intervallet (R, R), hvor den gjenværende delen av formel Maclaurin

R _n (x) -> 0 for n -> uendelig. Hvis det finnes, må den funksjon f (x) være lik summen av den Maclaurinrekker.

Tenk nå Maclaurinrekker for de enkelte funksjonene.

1. Således er det første som skal f (x) = e ^x. Selvfølgelig, at dets egenskaper så f-Ia har avledet et utvalg av ordrer, og f ^{(k) (x)} = e ^x, hvor k er lik for alle de naturlige tall. Erstatning x = 0. Vi får f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Basert på det foregående, et antall e ^x Det vil være som følger:

2. Maclaurin serie for funksjonen f (x) = sin x. Umiddelbart spesifisere at f-sjoner for alle ukjente derivater vil ha, i tillegg til f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), hvor k er lik en hvilken som helst positivt heltall. Det vil si, gjøre enkle beregninger, kan vi konkludere med at serien for f (x) = sin x vil bli som dette:

3. Nå la oss vurdere IJU f-f (x) = cos x. Det er ikke kjent for alle derivater av vilkårlig orden, og ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Igjen, det å ha gjort noen beregninger, finner vi at serien for f (x) = cos x vil se slik ut:

Så har vi listet opp de viktigste funksjonene som kan utvides i en Maclaurin serien, men de utfyller Taylor serien for enkelte funksjoner. Nå vil vi liste dem også. Det bør også bemerkes at Taylor-serien og Maclaurinrekker er en viktig del av workshopen rekke beslutninger i høyere matematikk. Så, Taylor-serien.

1. Den første er en serie av f-ii f (x) = ln (1 + x). Som i de foregående eksempler, for vi f (x) = ln (1 + x) kan brettes et nummer, ved å bruke den generelle form av Maclaurin serie. men for denne funksjonen Maclaurin kan fås mye enklere. Integrering av en geometrisk rekke, får vi et nummer for f (x) = ln (1 + x) av prøven:

2. Og den andre, noe som vil være endelig i denne artikkelen, vil være en serie av f (x) = arctg x. For x som tilhører intervallet [1; 1] er gyldig nedbrytning:

Det er alt. I denne artikkelen har jeg kartlagt de mest brukte Taylor-serien og Maclaurinrekker i høyere matematikk, spesielt på det økonomiske og tekniske høyskoler.