Dobbel integrert. Oppgaver. egenskaper

Problemer som fører til begrepet "dobbel integrert".

1. La flat platematerialet i hvert punkt av hvilken tetthet er kjent i det definerte plan. Vi må finne en masse denne posten. Siden denne plate har store dimensjoner, kan det være innesluttet i et rektangel. Tettheten av platen kan forstås også på følgende måte: ved punktene for et rektangel, som ikke hører til platen, antar vi at tettheten er null. Vi definerer en jevn brudd ved samme antall partikler. Dermed er den på forhånd bestemte form delt i elementære rektangler. Vurdere en av disse rektangler. Plukk helst av rektangelet. I lys av den lille av dimensjonene av rektangelet vil bli antatt at tettheten på hvert punkt av rektangelet er konstant. Da massen av en rektangulær partikler, vil bli bestemt som den multiplikasjon av tettheten på dette punkt i området av rektangelet. Området er kjent, er det multiplikasjon av rektangelet lengden av bredden. Og på den koordinere fly - en endring med noen trinn. Da massen av hele posten vil være summen av massene av disse rektangler. Hvis et slikt forhold gå til grensen, så kan du få den eksakte forholdet.
2. Vi definerer et romlig legeme som er avgrenset ved origo og en funksjon. Vi må finne volumet av legemet. Som i den forrige saken, deler vi regionen i rektangler. Vi antar at på de punktene som ikke hører til domenet, vil funksjonen være lik 0. La oss vurdere en av den rektangulære brutt. Gjennom sidene av et rektangel trekke plan som er vinkelrett på aksene for abscisse og ordinat. Vi får en boks, som er under planet for den relativt begrensede z-aksen, og toppen av funksjon, som ble definert i problemet. Velg i midten av rektangelet punktet. På grunn av den lille størrelsen på rektangelet kan antas at funksjonen i dette rektangelet har en konstant verdi, så kan du beregne volumet av et rektangel. Et volum tallet vil være lik summen av alle mengder av disse rektangler. For å få en nøyaktig verdi, må du gå til grensen.

Som man ser av oppgavene i hvert eksempel, konkluderer vi at ulike problemer føre til en vurdering av de doble mengder av samme art.

Egenskaper av doble integraler.

Vi stiller problemet. Anta at i en viss lukket område gis en funksjon av to variable, med de som er gitt ved en kontinuerlig funksjon. Siden området er begrenset, så det kan plasseres i en hvilken som helst rektangel som helt inneholder egenskapene til et forutbestemt område punkt. Vi deler rektangelet i like deler. Vi sier at den største diameter bryte diagonalen av de resulterende rektangler. Vi velger nå grensene for dette rektangelet punktet. Hvis du finner verdien på dette punktet er å fastsette beløpet, så dette beløpet vil bli kalt integral for en funksjon i et gitt domene. Grensene for slike integrerte sum, under de betingelser at diameteren av den pause til å være 0, og antallet rektangler - uendelig. Hvis en slik grense eksisterer og er ikke avhengig av metoden for å bryte området i rektangler og valg av form, da kalles det - en dobbel integrert.

Den geometriske innhold av dobbelt integral: dobbeltintegraltall like stort volum av legemet, som er blitt beskrevet i Oppgave 2.

Kjenne dobbelt integral (definisjon), kan du angi følgende egenskaper:

1. Konstanten kan tas utenfor den integrerte tegn.
2. Den integrerte sum (forskjellen) er lik summen (forskjell) av integraler.
3. Av funksjonene vil være mindre enn det, er det dobbel integrert mindre.
4. Modulen kan gjøres i henhold til fortegnet av den dobbelte integral.