Hva er den betingede sannsynligheten og hvordan du beregner det riktig?

Ofte i livet står vi overfor det faktum at du trenger å vurdere sjansene for forekomst av enhver hendelse. Bør jeg kjøpe et lodd eller ikke, hva ville være gulvet i tredje barn i familien, om morgen skyet til regn igjen - slike eksempler er utallige. I det enkleste tilfellet, antall gunstige utfall delt på totalt antall hendelser. Hvis lodd vinne 10, og totalt 50, er sjansene for å få en premie lik 10/50 = 0,2, det vil si 20 kontra 100. Men hva de skal gjøre i tilfelle at det er flere hendelser, og de er nært knyttet til hverandre? I dette tilfellet er vi interessert i er ikke lett, og betinget sannsynlighet. Hva slags verdi og hvordan den kan beregnes - det vil bare bli dekket i denne artikkelen.

oppfatningen

Betinget sannsynlighet - en sjanse forekomst av en bestemt hendelse, forutsatt at den andre arrangement i forbindelse med det allerede har skjedd. Betrakt et enkelt eksempel på å kaste en mynt. Når trekningen var ikke der, så sjansene for fallende krone eller mynt vil være den samme. Men hvis mynt fem ganger på rad gikk til armene opp og forventer å bli enige den sjette, syvende, og spesielt den 10. repetisjon av et slikt utfall ville være ulogisk. Med hver gjentas gang tap av en ørn, er sjansene for haler økende, og før eller senere vil det fortsatt falle.

Formelen for betinget sannsynlighet

La oss nå forholde seg til hvordan denne verdien beregnes. Vi betegner ved B det første arrangementet, og det andre til A. Dersom sjansene for forekomst i den ikke-null, da det er rimelig til den følgende ligning:

P (A | B) = P (AB) / P (B), hvor:

• P (A | B) - Totalt betinget sannsynlighet;
• P (AB) - sannsynligheten for samtidig forekomst av hendelsene A og B;
• P (B) - sannsynligheten for arrangementet B.

Litt omdanne oppnå forholdet P (AB) = P (A | B) P * (B). Og hvis vi bruker metoden for induksjon, er det mulig å utlede formelen for produktet og bruke den for et vilkårlig antall hendelser:

P (A _1, A _2, A _3, ... A _n) = P (A ₁ | _A2 ... A _n) * P (A ₂ | A ₃ ... A _n) * P ₍₃ | A ₄ ... A _n ) ... P _(n-1 | _n A) * P _(n).

praksis

For å gjøre det lettere å forholde seg til hvordan den beregnede betinget sannsynlighet for en hendelse, vurdere et par eksempler. Anta at det er en bolle der det er 8 7 sjokolade og mynte. De er like i størrelse og tilfeldig rekkefølge trukket ut to av dem. Hva er sjansen for at begge vil være sjokolade? Vi introduserer notasjon. Og la resultatet betyr at den første sjokolade, totalt In - den andre søt sjokolade. Så får vi følgende:

P (A) = P (B) = 8/15

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Vurdere en annen sak. Tenk deg at du har en to-barns familie, og vi vet at minst ett barn er en jente. Hva er den betingede sannsynligheten for at guttene i disse foreldrene ennå? Som i den forrige saken, la oss starte med noen notasjon. La P (B) - sannsynligheten for at en familie har minst en jente, P (A | B) - sannsynligheten for at det andre barnet er også en jente, F (AB) - Sjansene for at en familie på to jenter. Nå gjør vi beregningene. Det kan være 4 forskjellige kombinasjoner av mannlige og kvinnelige barn og på samme tid i bare ett tilfelle (når familien to gutter), vil jentene ikke være blant barna. Derfor er sannsynligheten P (B) = 3/4 og P (AB) = 1/4. Deretter følger vår formel, får vi:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Tolke resultatet kan være dette: Hvis vi ikke hadde kjent om feltet b av ett av barna, vil sjansene for to jentene være 25 mot 100. Men siden vi vet at et barn er en jente, er sannsynligheten for at noen gutter i familien, vokser opp til en tredje.