Geometrisk progresjon. EKSEMPEL til avgjørelse

Tenk på rad.

7 28 112 448 1792 ...

Ganske tydelig viser at verdien av noen av dets elementer mer enn den forrige nøyaktig fire ganger. Så, er denne serien en progresjon.

geometrisk progresjon kalt uendelig sekvens av tall, den viktigste funksjonen av hvilke er at det følgende nummer blir oppnådd fra det ovennevnte ved å multiplisere med en viss bestemt nummer. Dette uttrykkes ved følgende formel.

_{en z 1 = a Z x q} , der z - nummeret til den valgte element.

Følgelig z ∈ N.

En tid når skolen er studert geometrisk progresjon - 9. klasse. Eksempler vil hjelpe forstå konseptet:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 6 februar ...

På grunnlag av denne formelen, kan utviklingen av nevneren finnes som følger:

Verken q, eller b _z kan ikke være null. I tillegg er hver av elementene i en rekke tall progresjon bør ikke være null.

Følgelig, for å se det neste antall av et antall, multiplisere den sistnevnte ved q.

Å definere dette progresjon, må du angi det første elementet av det og nevneren. Etter det er det mulig å finne noen av følgende medlemmer og deres beløp.

arter

Avhengig av q og en _1, er denne progresjon delt inn i flere typer:

• Hvis en _{1 og} q er større enn én, og deretter en sekvens - øker med hvert påfølgende element i en geometrisk progresjon. Eksempler på dette er beskrevet nedenfor.

Eksempel: en ₁ = 3, q = 2 - som er større enn enhet, begge parametere.

Deretter en sekvens av tall kan skrives som:

3 6 12 24 48 ...

• Hvis | Q | mindre enn en, for eksempel, er det ekvivalent med multiplikasjon ved divisjon, progresjon med like forhold - avtagende geometrisk progresjon. Eksempler på dette er beskrevet nedenfor.

Eksempel: en ₁ = 6, q = 1/3 - en ₁ er større enn én, q - mindre.

Deretter en sekvens av tall kan skrives som følger:

02.06 2/3 ... - noe element flere elementer etter det, er 3 ganger.

• Vekslende. Hvis q <0, tegn på antallet av sekvensveksel konstant uavhengig av en _1, og elementene i enhver økning eller minskning.

Eksempel: a ₁ = -3, q = -2 - begge er mindre enn null.

Deretter en sekvens av tall kan skrives som:

3, 6, -12, 24, ...

formel

For praktisk bruk, er det mange geometriske progresjoner av formlene:

• Formel z-th sikt. Den tillater beregning av elementet i et bestemt antall uten å beregne de foregående tallene.

Eksempel: q = 3, a = ₁ 4. nødvendig for å beregne en fjerde element progresjon.

Løsning: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Summen av de første elementer, hvis antall er lik z. Den tillater beregning av summen av alle elementer i en sekvens til en _z inklusive.

≠ 0, derfor er Q ikke en - (q 1) Da (1-q) er i nevneren, da.

Merk: hvis q = 1, så progresjonen ville ha representert en rekke uendelige gjenta nummer.

Mengde eksponentielt eksempler: a ₁ = 2, q = -2. Beregn S _5.

Løsning: S ₅ = 22 - beregningsformel.

• Beløpet hvis | q | <1 og når z har en tendens til uendelig.

Eksempel: en ₁ = _2, q = 0,5. Finn den summen.

Løsning: S _z = 2 x = 4

Hvis vi beregne summen av flere medlemmer av den manuelle, vil du se at det er faktisk forpliktet til fire.

S _z = 1 + 2 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Noen egenskaper:

• Et karakteristisk egenskap. Hvis følgende betingelse Det holder for en hvilken som helst z, deretter gitt en numerisk serie - en geometrisk progresjon:

en _z ² = A _{z -1} • A _{z + 1}

• Det er også kvadratet av et hvilket som helst tall er eksponensielt ved hjelp av tilsetning av kvadratene av de to andre tall i en gitt rad, hvis de er like langt fra elementet.

² a _z = a _{z - t} ² _{+ az} + _t ² hvor t - avstanden mellom disse tallene.

• Elementene variere fra q ganger.
• Logaritmene for elementene i progresjon, samt danner en progresjon, men den aritmetiske, dvs. at hver av dem mer enn den forrige ved et bestemt antall.

Eksempler på noen klassiske problemer

For bedre å forstå hva en geometrisk progresjon, med beslutnings eksempler for klasse 9 kan hjelpe.

• Betingelser: ₁ = 3, ₃ = 48. Finn q.

Løsning: hver påfølgende element i mer enn den foregå q tid. Det er nødvendig å uttrykke noen elementer gjennom andre via evner.

Følgelig, en ₃ = q ² * ₁

Når man anvendte q = 4

• Betingelser: _a2 = 6, en = ₃ 12. Beregn S _6.

Løsningen: For å gjøre dette er det tilstrekkelig å finne q, det første element og erstatning i formelen.

en ₃ = q • A _2, følgelig, q = 2

et ₂ = q • A _1, så a = ₁ 3

S = ₆ 189

• • A ₁ = 10, q = -2. Finn den fjerde element av progresjon.

Løsning: Det er nok til å uttrykke det fjerde elementet gjennom den første og gjennom nevneren.

₄ et ³ = q • A = ₁ -80

Brukseksempel:

• Bank kunden har bidratt summen på 10.000 rubler, der hvert år klienten til hovedstolen vil bli lagt 6% av det selv. Hvor mye penger er på konto etter 4 år?

Løsning: Den innledende beløp som svarer til 10 tusen rubler. I så fall vil et år etter investeringene i kontoen være et beløp som tilsvarer 10 000 + 10 000 = 10 000 · 0,06 · 1,06

Følgelig beløpet på kontoen selv etter ett år vil uttrykkes som følger:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 1,06 · · 10000

Det vil si at hvert år beløpet økt til 1,06 ganger. Derfor, for å finne antall konto etter 4 år, er det tilstrekkelig å finne et fjerde element progresjon, som er gitt første element lik 10 tusen, og nevneren er lik 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Eksempler på problemer i beregning av summen av:

I ulike problemer ved hjelp av geometrisk progresjon. Et eksempel på å finne summen kan settes som følger:

et ₁ = 4, q = 2, beregnes S _5.

Løsning: alle de nødvendige data for beregningen er kjent, bare erstatte dem inn i formelen.

S ₅ = 124

• et ₂ = 6, en = ₃ 18. Beregn summen av de første seks elementer.

løsning:

Den Geom. fremdriften for hvert element i den neste større enn de foregå q ganger, det vil si å beregne hvor mye du trenger å vite elementet en ₁ og nevneren q.

₂ · q = _a3

q = 3

Tilsvarende, behovet for å finne en _{1, 2} og megetsigende q.

₁ · q = _a2

en ₁ = 2

Og da det er tilstrekkelig å erstatte de kjente data i oppskriftsmengden.

S ₆ = 728.