Derivater tall: beregning av metoder og eksempler

Kanskje begrepet derivatet er kjent for oss alle siden videregående skole. Vanligvis studenter har problemer med å forstå dette er utvilsomt en veldig viktig ting. Det er aktivt brukt i ulike områder av menneskers liv, og mange ingeniør var basert nettopp på matematiske beregninger innhentet av den deriverte. Men før du går videre til en analyse av hva som er et derivat av tallene som de beregne og hvor de vil komme godt med, dybden litt inn i historien.

historien

Begrepet derivat, som er grunnlaget for matematisk analyse, var åpen (enda bedre å si "oppfunnet", fordi det er som sådan ikke eksisterer i naturen) Isaakom Nyutonom, som vi alle kjenner fra oppdagelsen av tyngdeloven. Det var han som først brukte dette konseptet i fysikk for den bindende karakter av hastighet og akselerasjon av organer. Og mange forskere fortsatt prise Newton for denne flotte oppfinnelsen, fordi faktisk han oppfant grunnlaget for differensial- og integralregning, faktagrunnlaget for hele feltet av matematikk som kalles "matematisk analyse". Enten på den tiden Nobelprisen, Newton sannsynligvis ville ha fått det et par ganger.

Ikke uten andre store hjerner. I tillegg til Newton på utvikling av avledede og integrerte jobbet slike eminente genier av matematikk som Leonhard Euler, Lagrange og Louis Gotfrid Leybnits. Det er takket være dem har vi teorien om differensialregning i den form det foreligger i dag. For øvrig er dette Leibniz oppdaget den geometriske betydning av den deriverte, som ikke var noe mer enn helningen til tangenten til kurven for funksjonen.

Hva er et derivat av tall? Bit gjenta hva som skjedde i skolen.

Hva er et derivat?

Definere dette begrepet på flere forskjellige måter. Den enkleste forklaringen: Derivater - det er frekvensen av endring funksjon. Representerer grafen til en funksjon y av x. Hvis det ikke er rett, har det noen kurver i diagrammet, perioder av økning og reduksjon. Hvis du tar noen forsvinnende intervall på planen, vil det være en rett linje segment. Derfor er forholdet mellom størrelsen på et uendelig lite segment av y til størrelsen av x-koordinaten, og vil være et derivat av funksjonen ved et gitt punkt. Hvis vi ser på funksjonen som helhet, i stedet for på et bestemt punkt, får vi en funksjon av den deriverte, altså en viss avhengighet av X y.

I tillegg, bortsett fra den fysiske betydningen av den deriverte som en funksjon av endringstakten, er det også en geometrisk forstand. På det vi nå diskuterer.

Den geometriske betydningen

Derivater tallene selv er et visst antall som ikke er en riktig forståelse ikke bære noen mening. Det viser seg at derivatet er ikke bare viser veksthastigheten eller redusere funksjon, og helningen til tangenten til den kurve som funksjon av den ved dette punkt. Ikke helt klar definisjon. La oss se det i detalj. Anta at vi har en graf av en funksjon (for å ta rentekurven). Den har en uendelig antall punkter, men det er områder hvor bare et enkelt punkt har et maksimum eller minimum. Gjennom en slik punkt, kan man tegne en rett linje, noe som vil være vinkelrett på graf av funksjon ved dette punkt. Denne linjen vil bli kalt en tangent. Anta at vi holdt den opp til krysset med aksen OX. Så oppnås mellom tangenten og aksen OX og vinkelen vil bli bestemt av den deriverte. Mer spesifikt, vil tangens til denne vinkel være lik den.

La oss snakke litt om de spesielle tilfeller og derivater La oss undersøke tallene.

spesielle tilfeller

Som vi allerede har nevnt, derivater av nummer - et derivat verdi ved et spesielt punkt. Her, for eksempel ta funksjonen y = x ^2. Den deriverte av x - tall, men generelt - en funksjon lik 2 * x. Hvis vi trenger å beregne den deriverte, for eksempel ved punktet x ₀ = 1, får vi y '(1) = 2 * 1 = 2. Det er veldig enkelt. En interessant tilfelle er den deriverte av det komplekse tall. Å gå inn i en detaljert forklaring på hva et komplekst tall, vil vi ikke. Det er nok å si at dette tallet som inneholder den såkalte imaginære enhet - antall som kvadratet er lik -1. Beregningen av dette derivat er bare mulig under følgende betingelser:

1) Det må være første ordens partiellderiverte av de reelle og imaginære deler av y og X.

2) betingelsene for Cauchy-Riemann forbundet med likhet delvis beskrevet i det første avsnitt.

En annen interessant sak, men ikke så komplisert som den forrige, er et derivat av et negativt tall. Faktisk kan noen negative tall representeres som en positiv, multipliseres med -1. Vel, derivatet og konstant funksjon lik en konstant multiplisert med den deriverte av funksjonen.

Det vil være interessant å lære om rollen av derivater i sitt daglige liv, og dette er nå, og diskutere det.

søknad

Sannsynligvis hver av oss minst en gang i livet ta meg i å tenke at matematikk er usannsynlig å være nyttig for ham. Og en slik komplisert ting som derivatet har sannsynligvis ingen nytte. Faktisk, matematikk - grunnleggende vitenskap, og alle dets frukter utvikler hovedsakelig fysikk, kjemi, astronomi og selv økonomien. Derivative markerte begynnelsen på matematisk analyse, som ga oss mulighet til å trekke konklusjoner fra grafer av funksjoner, og vi har lært å tolke lovene i naturen og gjøre dem om til sin fordel på grunn av det.

konklusjon

Selvfølgelig kan ikke alle være nyttig å derivatet i det virkelige liv. Men matematikk utvikler logikk som helt sikkert vil trenge. Ikke for ingenting fordi matematikken kalles dronningen av vitenskap: det består av en grunnleggende forståelse av andre felt av kunnskap.